Deskripsi Data

Pada bab ini kita melanjutkan pengembangan metode deskripsi data dengan cara menemukan suatu nilai yang dapat mewakili sekumpulan data.

Nilai ini merupakan ukuran tendensi sentral atau ukuran kecenderungan pemusatan, dalam bahasa umum disebut rata-rata.

Ukuran tendensi pemusatan : suatu nilai yang merangkum sekumpulan data. Ukuran ini menunjukan nilai yang berada ditengah-tengah.

Contoh : - rata-rata kecepatan mobil yang melewati Jl. Ahmad Yani adalah 37 km/jam.

                - rata-rata  Persebaya memasukkan 2,1 gol pada setiap pertandingan.

3.1 Rata-rata populasi

Definisi matematis :                  =

Dimana :  = rata-rata populasi

                         = nilai tiap individu dalam populasi.

                         = jumlah individu dalam populasi.

                         = penjumlahan.

Karakteristik dari suatu populasi yang dapat diukur disebut parameter. Contoh parameter : rata-rata, range (jarak).

Rata- rata sampel

Definisi matematis :  =

Dimana :  = rata-rata sampel.

                         = nilai tiap individu dalam sampel.

                         = jumlah individu dalam sampel.

                        = penjumlahan.

Karakteristik yang berdasarkan data sampel disebut statistik.

 Sifat rata-rata aritmatik :

1.       setiap kelompok data interval maupun data rasio, pasti memiliki rata-rata.

2.       seluruh nilai tercakup dalam perhitungan rata-rata.

3.       suatu kumpulan data hanya memiliki satu nilai rata-rata.

4.       rata-rata merupakan ukuran yang berguna dalam membandingkan dua atau lebih populasi.

5.       rata-rata aritmatik adalah satu-satunya ukuran lokasi dimana jumlah dari seluruh deviasi tiap nilai dari rata-rata akan sama dengan nol.

Simbol matematis :   = 0.

Sehingga dapat dikatakan bahwa rata-rata merupakan titik keseimbangan dalam sekumpulan data.

Rata- rata terboboti

Rata-rata ini digunakan jika bobot dari satuan pengamatan tidak sama. Untuk menjelaskan hal ini, ambil contoh :

Di suatu restoran tersedia 3 ukuran minuman ringan. Yang kecil dijual Rp 2000, yang sedang Rp 3000, dan yang besar Rp 4000. jika dari 10 minuman yang terjual,  3 ukuran kecil, 4 ukuran sedang, dan 3 ukuran besar. Berapa rata-rata harga minuman yang terjual ?

Dengan rata-rata terboboti, kita dapat menghitung sbb:

 =  =  =  = Rp 3000.

3.2 Median

Telah diterangangkan bahwa untuk data yang memiliki satu atau dua nilai yang sangat besar atau sangat kecil, rata-rata aritmatiknya mungkin tidak mewakili populasi data tersebut.

Untuk masalah seperti diatas, kita dapat menggunakan alat lain dalam menentukan ukuran pemusatan (central tendency) yang disebut median.

Definisi : median adalah nilai tengah dari sekumpulan data setelah disusun dari nilai terkecil sampai nilai terbesar, atau sebaliknya. Dimana 50% data terletak dibawah median dan 50% lain diatas median.

Sifat median :

1.       unik, artinya hanya ada satu median untuk tiap kumpulan data.

2.       tidak terpengaruh oleh nilai data yang terlalu besar atau kecil dalam kumpulan data.

3.       dapat dihitung untuk distribusi frekuensi yang memiliki kelas “open ended”, selama median tidak terletak di kelas “open ended”.

4.       dapat dihitung untuk data level rasio, level interval, dan level ordinal.

 3.3 Modus

Definisi : modus adalah nilai dari observasi (sekumpulan data) yang muncul paling sering.

Sifat modus :

1.       dapat digunakan pada data level nominal, ordinal, interval, dan rasio.

2.       tidak dipengaruhi oleh nilai data yang terlalu besar atau terlalu kecil.

3.       tidak dapat digunakan pada kumpulan data yang nilainya sangat acak.

3.4 Rata-rata geometris

biasa digunakan dalam mencari rata-rata persentase, rasio indeks, atau kecepatan pertumbuhan.

Rumus :     GM =

Rata-rata geometris akan selalu kurang dari atau sama dengan rata-rata aritmatik, tidak pernah lebih besar.

Selain itu nilai data harus positif dalam menentukan GM.

Contoh :

1.       seorang karyawan menerima kenaikan gaji 5% pada tahun ini, dan 15% pada tahun depan. Berapa rata-rata geometrisnya?

GM =  =  = 1,09886.

Aplikasi lain dari GM adalah untuk mencari rata-rata persentase kenaikan selama satu periode.

                GM =

Contoh :

1.       seorang karyawan di gaji Rp 30.000/jam pada tahun 1990, dan Rp 50.000/jam pada tahun 2000. berapa kecepatan kenaikan selama periode tersebut ?

GM =  =  = 0,96

3.5 Rata-rata, median, dan mode dari data yang berkelompok

Dalam keadaan tertentu, seringkali data telah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, sehingga kita sulit untuk melihat data aslinya. Untuk menggambarkan data asli tersebut, kita harus memperkirakannya berdasarkan distribusi frekuensinya.

3.5.1 Rata-rata aritmatik

Untuk memperkirakan rata-rata aritmatik dari data berkelompok, kita memulainya dengan menggunakan nilai tengah tiap kelas/ kelompok sebagai representasi kelas.

Rumus :       =

Dimana :                =  rata-rata aritmatik

                              = nilai tengah kelas.

                              = frekuensi tiap kelas.

                              = total jumlah frekuensi.

Contoh :

1. berikut data besarnya belanja perusahaan perbulan di kota Bandung.  

Belanja (jt Rp)	Jumlah perusahaan
25 - 35	5
35 – 45	10
45 – 55	21
55 – 65	16
65 - 75	8
	60

        Berapa rata-ratanya ?

3.5.2 Median

                Untuk data berkelompok, median yang asli tidak dapat ditentukan, namun dapat dicari estimasinya melalui cara :

1.      menentukan kelas yang terdapat median di dalamnya.

2.      menginterpolasi dalam kelas tsb untuk menentukan median.

Median data berkelompok :    Median =

Dimana :                 = batas bawah dari kelas yang berisi median.

                                = total jumlah frekuensi.

                                = frekuensi di kelas median.

                                = kumulatif dari frekuensi seluruh kelas sebelum kelas median.

                                = interval kelas median.

3.5.2 Modus

                Ingat kembali bahwa modus (mode) adalah nilai yang paling sering muncul. Untuk data berkelompok, modus dapat ditentukan dengan cara :

• mencari nilai tengah dari kelas yang memiliki frekuensi terbesar.

Contoh :

1.        data jumlah produksi perhari pabrik mobil dalam tabel distribusi frekuensi :

Produksi Harian (unit)	Frekuensi
80 – 90	5
90 – 100	9
100 – 110	20
110 – 120	8
120 – 130	6
130 – 140	2

Tentukan mean, median, dan modus !

3.6 Memilih Nilai Tengah Untuk Data Berbentuk Distribusi Frekuensi

                Untuk distribusi data yang simetris, nilai modus, median, dan mean terletak tepat di tengah-tengah data, dimana modus = median = mean.

Data seperti itu memiliki kurva distribusi dengan kemencengan nol (zero skewness).

Bila distribusi data tidak simetris, maka kurva distribusinya akan miring/ menceng (skewed). Ada 2 jenis kemencengan :

a.        positive skewness (menceng ke kanan).

Terjadi bila mean merupakan nilai yang terbesar dibanding median dan modus, disebabkan terdapat data ekstrem yang besar.

 

b.        negative skewness (menceng ke kiri).

Terjadi bila mean merupakan nilai yang terkecil dibandingkan dengan median dan modus, disebabkan terdapat data ekstrem yang kecil.

Untuk jenis distribusi yang tidak simetris seperti diatas, seringkali mean bukan ukuran yang dapat mewakili sekumpulan data. Median atau modus justru dapat lebih mewakili kumpulan data yang tidak simetris seperti di atas.